Обратные гиперболические функции
Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2 − y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т.д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т.д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т.д. Также применяют[1] названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т.д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т.д.
В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.
В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.
| Название функции | Обозначение в русской литературе | Обозначение в английской литературе |
|---|---|---|
| ареасинус | arsh | arsinh, sinh−1 |
| ареакосинус | arch | arcosh, cosh−1 |
| ареатангенс | arth | artanh, tanh−1 |
| ареакотангенс | arcth | arcoth, coth−1 |
| ареасеканс | arsch, arsech | arsech, sech−1 |
| ареакосеканс | arcsch | arcsch, csch−1 |
Определения функций
В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:
- ареасинус
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arsh}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1} \,); }[/math]
- ареакосинус
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arch}\, z = \ln(z + \sqrt{z^2-1}); }[/math]
- ареатангенс
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{1+z}{1-z}\right); }[/math]
- ареакотангенс
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arcth}\, z = \tfrac12\ln\left(\frac{z+1}{z-1}\right); }[/math]
- ареасеканс
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arsech}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} - 1 }\right); }[/math]
- ареакосеканс
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arcsch}\, z = \ln\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right). }[/math]
Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть [math]\displaystyle{ \sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \varphi / 2}, }[/math] если представить комплексное число z как [math]\displaystyle{ z=r e^{i \varphi} }[/math] при [math]\displaystyle{ -\pi \lt \varphi \le \pi }[/math]), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например [math]\displaystyle{ \sqrt{x+1}\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}, }[/math] которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.
Разложение в ряд
Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arsh}\, x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n-1)!!} {(2n)!!} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| \lt 1. \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arch}\, x & = \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x \gt 1. \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arth}\, x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| \lt 1. \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| \gt 1. \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arch} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\ & = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 \lt x \le 1. \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arcth}\, x = \operatorname{arth} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| \gt 1. \end{align} }[/math]
Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arsh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}. }[/math]
Производные
| Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] | Производная [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] | Примечание |
|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \mathrm{arsh}\ x }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} }[/math] | Доказательство [math]\displaystyle{ (arsh (x))' = (\ln{(x + \sqrt{x^2 + 1})})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x + \sqrt{x^2 + 1})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot ((x)' + (\sqrt{x^2 + 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + (\sqrt{x^2 + 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (x^2 + 1)') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot (\frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{(x + \sqrt{x^2 + 1}) \cdot (\sqrt{x^2 + 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \mathrm{arch}\ x }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} }[/math] | Доказательство [math]\displaystyle{ (arch (x))' = (\ln{(x + \sqrt{x^2 - 1})})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x + \sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot ((x)' + (\sqrt{x^2 - 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (1 + (\sqrt{x^2 - 1})') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2 - 1)') = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot (\frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}}) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{(x + \sqrt{x^2 - 1}) \cdot (\sqrt{x^2 - 1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \mathrm{arth}\ x }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{1 - x^2} }[/math] | Доказательство [math]\displaystyle{ ({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})' = \biggl(\frac{1}{2} \cdot \ln\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggl)\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{(1+x)'(1-x) - (1+x)(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1-x}{1+x} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{1-x^2} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \mathrm{arcth}\ x }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{1 - x^2} }[/math] | Доказательство [math]\displaystyle{ ({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})' = \biggl(\frac{1}{2} \cdot \ln\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{(x+1)'(x-1) - (x+1)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{-2}{(x-1)^2} = \frac{1}{1-x^2} }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \mathrm{arsech}\ x }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{x(x+1)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ \mathrm{arcsch}\ x }[/math] | [math]\displaystyle{ -\frac{1}{x(x+1)\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} }[/math] |
Для действительных x:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \mp \frac{1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0.\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \mp \frac{1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0. \end{align} }[/math]
Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:
- [math]\displaystyle{ \frac{d\,\operatorname{arsh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \operatorname{sh} \theta} = \frac{1} {\operatorname{ch} \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\operatorname{sh}^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. }[/math]
Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций
- [math]\displaystyle{ \begin{align} &\operatorname{sh}(\operatorname{arch}\,x) = \sqrt{x^{2} - 1}, \quad \quad |x| \gt 1; \\ &\operatorname{sh}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1 \lt x \lt 1; \\ &\operatorname{ch}(\operatorname{arsh}\,x) = \sqrt{1+x^{2}}; \\ &\operatorname{ch}(\operatorname{arth}\,x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}, \quad \quad -1 \lt x \lt 1; \\ &\operatorname{th}(\operatorname{arsh}\,x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}; \\ &\operatorname{th}(\operatorname{arch}\,x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}, \quad \quad |x| \gt 1. \end{align} }[/math]
Дополнительные формулы
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arsh} \;u \pm \operatorname{arsh} \;v = \operatorname{arsh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right). }[/math]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arch} \;u \pm \operatorname{arch} \;v = \operatorname{arch} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right). }[/math]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{arth} \;u \pm \operatorname{arth} \;v = \operatorname{arth} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right). }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{arsh} \;u + \operatorname{arch} \;v & = \operatorname{arsh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\ & = \operatorname{arch} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right). \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \begin{align} 2\operatorname{arch} x &=\operatorname{arch}(2x^2-1), &\quad\quad x\geq 1; \\ 4\operatorname{arch} x &=\operatorname{arch}(8x^4-8x^2+1), &\quad\quad x\geq 1; \\ 2\operatorname{arsh} x &= \operatorname{arch}(2x^2+1), &\quad\quad x\geq 0; \\ 4\operatorname{arsh} x &= \operatorname{arch}(8x^4+8x^2+1), &\quad\quad x\geq 0. \\ \end{align} }[/math]
См. также
- Гиперболические функции
- Обратные тригонометрические функции
- Таблица интегралов обратных гиперболических функций
Источники
- ↑ М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. — Наука, 1963. — С. 594. — 873 с.
- Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.
Ссылки
 | Для улучшения этой статьи желательно: |